miércoles, 10 de enero de 2018

Elogio de la modelización matemática hoy, por Claudi Alsina

Elogio de la modelización matemática hoy, por Claudi Alsina (http://claudialsina.com), divulgador, investigador, innovador educativo matemático, catedrático de Matemáticas en la Universidad Politécnica de Cataluña y Doctor en Matemáticas por la Universidad de Cataluña.

Dedicado a José Antonio Pérez y Antonio Urbano en recuerdo de los magníficos encuentros EDUMAT que organizaron en Montilla.

Junto a la resolución de problemas, uno de los grandes motores para aprender matemáticas es el llamado proceso de modelización. En este breve artículo intentaremos explicar su sentido docente.
Desde hace años existe a nivel internacional una tendencia que consiste en presentar las matemáticas a través de sus aplicaciones y de la modelización. Muchos son los congresos celebrados sobre el tema (ICTMA) y las publicaciones fundacionales (ver referencias). 

Las grandes competencias matemáticas.
En gran medida el éxito de la idea de competencia matemática se debe a la visión que de ella ha transmitido el profesor danés Mogens Niss. A él se debe la definición básica:
"La competencia matemática es la habilidad de entender, juzgar, hacer y usar matemáticas en una gran variedad de situaciones y contextos en los cuales la matemática juega, o podría jugar un papel importante."
La oportunidad de esta definición es que resume en una frase lo que es el gran objetivo de aprender matemáticas: hacer personas competentes matemáticamente. El tema es relevante pues en el mundo que nos rodea podemos descubrir un gran número de incompetencias en situaciones que son cotidianas y muy simples. Por eso hoy en día junto al tema de la alfabetización preocupa el tema de una cultura cuantitativa (quantitative literacy) para todos. No se trata solo de saber sino de saber aplicar.
Entre las grandes competencias matemáticas a trabajar se destacan: pensar matemáticamente, razonar y argumentar matemáticamente, resolver problemas, saber hacer modelos (modelización), comunicar, representar, usar símbolos y usar instrumentos adecuados.
La competencia de resolver problemas fue explorada por George Pólya y, desde aquellos tiempos de su "How to solve it", todo el mundo ha coincidido en que los problemas ofrecen el más genuino entrenamiento para ser competente matemáticamente. Resolver problemas es una habilidad que merece ser trabajada en sí misma. No es solo una técnica para verificar si algo se sabe hacer. Hablamos de problemas y no de ejercicios.
En el caso de la competencia de modelización, a la que tanto contribuyó Hans Freudenthal, se pondrá a prueba, como veremos, nuestra capacidad para matematizar, ir del mundo real al modelo y del modelo hacia atrás, hacia el mundo real, en un fino juego para lograr mejores modelos, obteniendo e interpretando los resultados.
Así pues debemos tener claro lo que es la “realidad”. Podemos aceptar lo que en su día afirmó al respecto Jan de Lange:
"El contexto puede ser la vida cotidiana, cultural, científica, artificial, matemático, etc. los problemas del mundo real serán usados para desarrollar conceptos matemáticos... luego habrá ocasión de abstraer, a diferentes niveles, de formalizar y de generalizar... y volver a aplicar lo aprendido... y reinventar la matemática..."

La modelización.
Una completa e interesante descripción general de la modelización matemática ya fue descrita hace 20 años por Henry O. Pollak (“Solving Problems in the Real World”, en el libro de L.A. Steen (Ed.) "Why Numbers Count: Quantitative Literacy for Tomorrow’s America". The College Board, New York, 1997):
"Cada aplicación de la matemática usa la matemática para evaluar o entender o predecir algo que pertenece al mundo no matemático. Lo que caracteriza a la modelización es la atención explícita al principio del proceso, al ir desde el problema fuera del mundo matemático a su formulación matemática, y una reconciliación explícita entre las matemáticas y la situación del  mundo real al final. A través del proceso de modelización se presta atención al mundo externo y al matemático y los resultados han de ser matemáticamente correctos y razonables en el contexto del mundo real."

También H.O. Pollack describió muy minuciosamente los ocho pasos que deben darse en todo proceso de modelización matemática:
1. Se identifica algo en el mundo real que queremos conocer, hacer o entender. El resultado es una cuestión en el mundo real.
2. Seleccionamos “objetos” que parecen importantes en la cuestión del mundo real e identificamos las relaciones entre ellos. El resultado es la identificación de conceptos clave en la situación del mundo real.
3. Decidimos lo que consideraremos o lo que ignoraremos sobre los objetos y su inter-relación. No se puede tomar todo en cuenta. El resultado es una versión idealizada de la cuestión original.
4. Traducimos la versión idealizada a términos matemáticos y obtenemos una formulación matematizada de la cuestión idealizada. A esto lo llamamos un modelo matemático.
5. Identificamos los apartados de la matemática que pueden ser relevantes para el modelo y consideramos sus posibles contribuciones.
6. Usamos métodos matemáticos e ideas para obtener resultados. Así surgen técnicas, ejemplos interesantes, soluciones, aproximaciones, teoremas, algoritmos,…
7. Tomamos todos estos resultados y los trasladamos al principio. Tenemos entonces una teoría sobre la cuestión idealizada.
8. Ahora debemos verificar la realidad. ¿Creemos en el resultado? ¿Son los resultados prácticos, las respuestas razonables, las consecuencias aceptables?
    a) Si la respuesta es sí, hemos tenido éxito. Entonces el siguiente trabajo, que es difícil pero extraordinariamente importante, es comunicar lo encontrado a sus usuarios potenciales.
    b) Si la respuesta es no, volvemos al inicio. ¿Por qué los resultados no son prácticos o las respuestas no razonables o las consecuencias inaceptables? Seguramente el modelo no era correcto. Examinamos lo que pudimos hacer mal y porqué y empezamos de nuevo.


Esta es una magistral descripción de los procesos de modelización que podemos seguir en las aulas.
Así pues es interesante prestar atención al proceso de trabajar la realidad a través de ideas y conceptos matemáticos, debiéndose realizar dicho trabajo en dos direcciones opuestas: a partir del contexto deben crearse esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas... y trabajando entonces matemáticamente hallar soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la realidad para analizar su validez y significado.
Cabe señalar que la investigación educativa ha puesto de manifiesto las grandes dificultades que el alumnado tiene en la verificación de soluciones: individuos que aprenden a resolver cuestiones son a menudo incapaces de decidir cuáles de los resultados hallados son relevantes para el problema propuesto. Seguramente esto debería inducirnos a prestar especial atención a este último pero importantísimo eslabón de la resolución de problemas.

Observemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo. ¿Cuánto tardaríamos en contar oralmente de 1 a 1 millón?
La pregunta es de números... pero no tiene una respuesta exacta. Obrar matemáticamente es precisamente lograr una respuesta satisfactoria sin tener necesidad de contar. Pero debe hacerse un modelo. Debemos cronometrar, decidir, cuántos segundos dedicamos a diferentes grupos de cifras (decenas, centenas, miles, ...) y al final hacer una previsión razonable ... y concluir que nunca contaremos oralmente una serie tan larga. Un caso interesante donde la estimación matemática es mucho mas importante que un resultado preciso.

Los modelos que se pueden formular son variados. Por ejemplo, en temas geométricos pueden darse:
• Modelización vectorial: vectores, coordenadas, producto escalar, norma, distancia, ángulo, proyección, figuras, transformaciones,...
• Modelización algebraica: vectores en coordenadas, matrices, sistemas de ecuaciones, determinantes, dependencias entre variables, cónicas y cuádricas, grupos de transformaciones.
• Modelización métrica sintética: figuras, transformaciones, perímetros, superficies, volúmenes, ángulos, maquetas, disecciones, proyecciones, trigonometría,...
• Otros instrumentos: axiomatización, modelos discretos, grafos, modelos computacionales...

Modelizando con temas de hoy.
El famoso tema de cómo mejorar en las pruebas PISA pasa necesariamente por un trabajo previo de aplicaciones y de modelización.
La elección de situaciones o problemas que pueden ser motivo de modelización matemática deben conectar con temáticas de interés actual. Por ejemplo:
- Aplicaciones a la modelización matemática del mundo físico.
- Matemática electoral.
- Geodesia y triangulación. GPS.
- Big data. Bases de datos. Algoritmos de Google.
- Cartografía (aérea, satélite, temática,...).
- Problemas comerciales (envasado, empaquetado, tallas, patrones,...).
- Digitalización y manipulación de imágenes. Fotocopias 3D.
- Problemas de logística.
- Procesamiento de imágenes, compresión y registro.
- Elementos multimedia inter-activos. Videojuegos.
- Codificación, descodificación y criptografía.
- Robótica: movimientos, visión, tareas automáticas.
Los propios enunciados de las pruebas PISA son una magnífica fuente de temas a tratar.

REFERENCIAS

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