Entornos de aprendizaje matemático en los primeros niveles de la Educación Primaria. Recursos y actividades para desarrollar el sentido numérico y el cálculo reflexivo. Por Mª Teresa García Pérez, maestra de Infantil y Primaria en el CPR Bembézar de Hornachuelos.
Agradezco la invitación a participar en esta revista y espero contribuir a su labor compartiendo con los lectores mi conocimiento profesional.
Soy maestra de Infantil y Primaria en el Colegio Público Rural Bembézar, en el municipio de Hornachuelos, en Córdoba. Mi larga estancia en el rural me ha regalado una experiencia docente rica e intensa y una visión amplia sobre metodologías eficaces en grupos donde conviven distintas edades. También he podido profundizar en recursos y estrategias para desarrollar el sentido numérico aportando comprensión y significado a los contenidos matemáticos que se abordan desde los tres a siete años. En este artículo me centraré en algunos aspectos del trabajo con la numeración y las operaciones de los cursos de primero y segundo, en concreto desarrollaré estos tres apartados:
Soy maestra de Infantil y Primaria en el Colegio Público Rural Bembézar, en el municipio de Hornachuelos, en Córdoba. Mi larga estancia en el rural me ha regalado una experiencia docente rica e intensa y una visión amplia sobre metodologías eficaces en grupos donde conviven distintas edades. También he podido profundizar en recursos y estrategias para desarrollar el sentido numérico aportando comprensión y significado a los contenidos matemáticos que se abordan desde los tres a siete años. En este artículo me centraré en algunos aspectos del trabajo con la numeración y las operaciones de los cursos de primero y segundo, en concreto desarrollaré estos tres apartados:
1. Directrices generales para el diseño de entornos de aprendizaje matemático.
2. Recursos manipulativos para trabajar la numeración y el cálculo con algoritmos transparentes.
3. Algunos ejemplos de actividades.
2. Recursos manipulativos para trabajar la numeración y el cálculo con algoritmos transparentes.
3. Algunos ejemplos de actividades.
1. DIRECTRICES GENERALES PARA EL DISEÑO DE ENTORNOS DE APRENDIZAJE MATEMÁTICO
1.1. Convertir el aula en un escenario emocional positivo.
Es fundamental que cuidemos los entornos de aprendizaje para que resulten seguros, atractivos y motivadores para el alumnado. La investigación que nos llega de las neurociencias asegura que las emociones son poderosos aliados en el proceso de instrucción, y afectan positiva o negativamente a elementos tan decisivos como la atención, la iniciativa, la autoestima y el rendimiento. Autoras como Waldegg (2003) han señalado que es la emoción la puerta y la conexión directa al aprendizaje. En línea con lo anterior, según la investigadora y sicóloga Beilock (2008), la memoria de trabajo es la responsable de recibir y retener información para la toma de alguna decisión importante, y se consume o pierde en escenarios de ansiedad o estrés.
1.2. Optimizar el funcionamiento de la memoria de trabajo en las actividades matemáticas.
La memoria de trabajo se pone de manifiesto y es trascendental ante tareas que requieren manejar información de distinto tipo (verbal, auditiva, visual, espacial,…) con el propósito de utilizarla para activar procesos psicológicos complejos (interpretar, analizar, reflexionar, planificar,…). Es un tipo de memoria temporal vinculada directamente con la comprensión, el razonamiento y el aprendizaje. En el terreno de las matemáticas, numerosas investigaciones aseguran su importancia para desarrollar con éxito capacidades como comprender la información verbal y simbólica, realizar cálculos reflexivos o resolver problemas razonadamente.
En el curso de primero aparecen o se agravan las dificultades de muchos niños y niñas con las matemáticas. Según Alsina y Sáiz (2003), las dificultades al calcular se deben a un bajo rendimiento en la memoria de trabajo, es decir, a deficiencias en el recuerdo y manejo de representaciones mentales. Para estos autores es algo lógico ya que, si los niños no son capaces de recordar números que acaban de escuchar, difícilmente podrán operar adecuadamente con ellos. Es fácil apreciar la importante implicación que este hecho tiene en la escuela, tanto a efectos de diagnóstico como a nivel preventivo.
1.3. Priorizar la verbalización dando al lenguaje matemático un enfoque comunicativo.
Todas las actividades tienen que estar acompañadas de un verdadero desarrollo del lenguaje matemático. Es fundamental que el docente mantenga el rigor al explicar, y que desde el principio posibilitemos espacios y tiempos para que los alumnos y alumnas expliquen las situaciones que se plantean, expongan sus intuiciones, justifiquen los pasos que han seguido en un razonamiento, atribuyan significado a los cambios que se producen en las cantidades, descubran la relación sintáctica entre los elementos de una operación, etc.
El docente debe prestar siempre mucha atención al proceso oral que soporta y argumenta la actividad matemática, por simple que sea. Así evitaremos que las dificultades iniciales pasen desapercibidas o reciban poca atención. En este sentido, Alsina (2003) dice que es fundamental afianzar y dar fluidez al proceso de codificación y decodificación entre código verbal y código simbólico en los números, ya que las representaciones fonológicas débiles ralentizan después el cálculo. Seguro que muchos docentes tenemos experiencias que ratifican las afirmaciones de este autor y recordamos casos como los siguientes:
El docente debe prestar siempre mucha atención al proceso oral que soporta y argumenta la actividad matemática, por simple que sea. Así evitaremos que las dificultades iniciales pasen desapercibidas o reciban poca atención. En este sentido, Alsina (2003) dice que es fundamental afianzar y dar fluidez al proceso de codificación y decodificación entre código verbal y código simbólico en los números, ya que las representaciones fonológicas débiles ralentizan después el cálculo. Seguro que muchos docentes tenemos experiencias que ratifican las afirmaciones de este autor y recordamos casos como los siguientes:
- Supresión articulatoria durante el conteo. Son niños o niñas que se traban al decir los números, al recitar la secuencia progresiva o regresiva, al contar objetos, etc.
- Confusiones entre números que tienen similitud fonológica. Por ejemplo, confundir trece y treinta porque ambos empiezan por tres; mostrar inseguridad al distinguir sesenta de setenta, etc.
- Falta de concentración y bajada del rendimiento. El esfuerzo del niño en mejorar su pronunciación de los números resta rendimiento a la actividad matemática (por ejemplo, en una actividad en la que deben contar oralmente a intervalos, tienen peores resultados los niños con dificultades para articular o para rescatar de su memoria el nombre del número).
- Olvido de la tarea planteada. La lentitud al contar, al construir una serie, al leer una operación,… provocan pérdida de información sobre la tarea planteada (por ejemplo, la lentitud al contar elementos puede hacer que olvide si se le pedía que dijera los que se juntan, los que quedan, los que se necesitan para igualar, …)
Podemos concretar dos conclusiones importantes en este apartado:
- El enfoque comunicativo que debemos dar a las actividades matemáticas. Pim (2002), en su libro “El lenguaje matemático en el aula” asegura: Si hemos de considerar las matemáticas como un lenguaje, la competencia comunicativa se convierte en una cuestión importante, y la comunicación significativa en una preocupación fundamental.
- La detección precoz y tratamiento de dificultades en los procesos básicos de lectura y escritura de números y expresiones aritméticas.
- Confusiones entre números que tienen similitud fonológica. Por ejemplo, confundir trece y treinta porque ambos empiezan por tres; mostrar inseguridad al distinguir sesenta de setenta, etc.
- Falta de concentración y bajada del rendimiento. El esfuerzo del niño en mejorar su pronunciación de los números resta rendimiento a la actividad matemática (por ejemplo, en una actividad en la que deben contar oralmente a intervalos, tienen peores resultados los niños con dificultades para articular o para rescatar de su memoria el nombre del número).
- Olvido de la tarea planteada. La lentitud al contar, al construir una serie, al leer una operación,… provocan pérdida de información sobre la tarea planteada (por ejemplo, la lentitud al contar elementos puede hacer que olvide si se le pedía que dijera los que se juntan, los que quedan, los que se necesitan para igualar, …)
Podemos concretar dos conclusiones importantes en este apartado:
- El enfoque comunicativo que debemos dar a las actividades matemáticas. Pim (2002), en su libro “El lenguaje matemático en el aula” asegura: Si hemos de considerar las matemáticas como un lenguaje, la competencia comunicativa se convierte en una cuestión importante, y la comunicación significativa en una preocupación fundamental.
- La detección precoz y tratamiento de dificultades en los procesos básicos de lectura y escritura de números y expresiones aritméticas.
1.4. Aprovechar la importancia de la visualización en el trabajo con los números.
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| Visualizar la operación 4 x 222 como cuatro veces 222 |
Nuestra manera de percibir es prioritariamente visual. La visualización constituye una herramienta de extraordinaria potencia para el aprendizaje en general y especialmente para el aprendizaje matemático. Según Miguel de Guzmán (1996), las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de los problemas.
1.5. Desarrollar el pensamiento relacional.
Una persona piensa de modo relacional cuando conecta conocimientos e ideas para aplicarlos a situaciones nuevas o para extraer conclusiones. Aplicado al tema que nos ocupa, el pensamiento relacional es aquel que nos lleva a percibir y expresar relaciones entre los números y las operaciones. Según Castro (1995), la comprensión relacional consiste en saber qué ha de hacerse en los problemas concretos, y estar en condiciones de relacionar estos procedimientos con conocimientos matemáticos más generales, como podrían ser las propiedades del sistema de numeración o las propiedades de las operaciones.
1.6. Desarrollar el pensamiento cuantitativo flexible.
Según Castro (2007), este pensamiento refiere a la habilidad de pensar sobre situaciones cuantitativas de diversas formas y tomar en cada ocasión la que resulte más favorable. El pensamiento cuantitativo flexible proporciona soltura en el empleo de estrategias alternativas a las rutinas del cálculo escolar y da lugar a patrones de pensamiento originales en el contexto de la aritmética (Molina, 2006).
Uno de los principales valores de la flexibilidad en el pensamiento radica, en la habilidad de seleccionar de entre diversos modos de actuación, el más eficaz. En el ejemplo, el alumno transforma la segunda cantidad convirtiendo la operación inicial en una mucho más fácil de calcular.1.7. Desarrollar la comprensión y generalización de patrones.
En las actividades diarias debemos proponer la búsqueda de regularidades y cambios en la secuencia de números. Esto nos llevará a percibir que hay una recurrencia en la generación de los símbolos y a comprender el patrón numérico de nuestro sistema de numeración decimal.
Igualmente tenemos que orientar el trabajo hacia la construcción de patrones aritméticos para adquirir un conocimiento que podamos generalizar. La comprensión de relaciones entre conceptos, ideas y procedimientos junto al descubrimiento de los patrones y la generalización, constituyen los cimientos de la competencia matemática.
1.8. Desarrollar algoritmos transparentes para el cálculo.
Una metodología basada en la comprensión, el razonamiento y las habilidades numéricas es incompatible con los algoritmos tradicionales de cálculo. En ellos, los alumnos y alumnas no pueden volcar lo que van aprendiendo sobre los números y las operaciones, no pueden desarrollar predicciones, exploraciones ni procedimientos creativos de resolución. Es necesario y urgente el cambio a algoritmos transparentes, es decir, aquellos que dejan ver el proceso mental seguido por el alumno. Solo así avanzaremos realmente en el desarrollo del sentido numérico. Ejemplos de algoritmos transparentes son ABN, el trabajo sobre la Línea Numérica Vacía, el Cálculo Táctico y otros igualmente valiosos e interesantes que ponen al alumnado en situación de:
- Explorar e interpretar el planteamiento.
- Recuperar y relacionar conocimientos.
- Diseñar y representar gráficamente un plan de acción.
2. RECURSOS MANIPULATIVOS PARA TRABAJAR LA NUMERACIÓN Y EL CÁLCULO CON ALGORITMOS TRANSPARENTES.
Para mi trabajo con alumnado de primer ciclo, he diseñado diversos recursos con los que poder visualizar los contenidos matemáticos referidos a numeración y operaciones. Estos recursos fueron objeto de un proyecto de investigación aprobado por la Consejería de Educación que se desarrolló entre los años 2010 y 2012. La investigación reunió al Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Córdoba, al Centro de Profesorado Luisa Revuelta de Córdoba y a diecisiete centros de Córdoba y su provincia, que experimentaron con los materiales en las aulas de primero y segundo. Una vez finalizado el proyecto, en las conclusiones finales se certifica el potencial didáctico de los recursos para el desarrollo del sentido numérico en el alumnado de primero, segundo y educación especial, así como para las situaciones de atención a la diversidad.
Pero los recursos no son válidos por sí mismos, es el docente en el aula quien los convierte en herramientas didácticas potentes y eficaces para desarrollar el sentido numérico en el alumnado. Es también el docente quien puede materializar con ellos todas las directrices anteriormente expuestas y procurar entornos de aprendizaje compatibles con la comprensión del cerebro. Además puede conseguir:
- Promover en el alumnado una disposición favorable y de progresiva seguridad y confianza hacia la interpretación y el uso de información numérica. Motivar, alentar la iniciativa personal, favorecer la atención y animar al aprendizaje de las matemáticas.
- Facilitar la creación de contextos en el grupo-clase que conduzcan a la participación, la comunicación y la cooperación.
Para terminar la introducción a los recursos, queda añadir unas últimas cualidades no menos importantes:
- Actúan como soportes numéricos (exponen los números) y también como soportes aritméticos (sirven de apoyo a la realización de operaciones). Con ello facilitan la comprensión y el trabajo del alumnado, que siempre cuenta con apoyos visuales y manipulativos.
- Exponen la representación de los números asociada a disposiciones espaciales, lo cual favorece el aprendizaje (páginas 158 y 159 del documento anterior referido a la comprensión del cerebro).
- Interactúan unos con otros y se complementan, proporcionando una visión amplia, dinámica y flexible de los números y las operaciones.
2.1. Cinta numérica 0 - 100
Este recurso facilita la apropiación de los números del cero al cien como una secuencia linealmente ordenada, continua y ampliable. Apoyándonos en esta visualización y trabajando sistemáticamente con ella en el aula, cada niño y niña podrá ir construyendo su propia línea mental para pensar y operar con los números. En este aspecto, la cinta conecta directamente con estrategias secuenciales (a saltos) para el cálculo pensado y con representaciones gráficas como la Línea Numérica Vacía.
Siempre podemos verla y recurrir a ella para consultar dudas o efectuar comprobaciones. Además, contribuye a enriquecer el contexto de aprendizaje, ya que cada número aporta información sobre sí mismo en relación con los demás: vemos los que le anteceden y le siguen, si está situado al principio, en la parte central o al final de la serie, compararlo con la posición que ocupan otros y cuantificar la distancia entre ambos,…
Es un excelente soporte para recoger información numérica de sucesos, situaciones o acontecimientos que afecten al aula, o para representar datos referidos a problemas que debamos resolver.
2.2. Paneles numéricos o - 99
Las actividades que realizamos con los paneles se alternan y complementan con las que hacemos sobre la cinta y con otros recursos del aula. Esto proporciona al alumnado una mayor flexibilidad en el razonamiento sobre los números, aspecto directamente relacionado con la calidad de su sentido numérico. 
La asociación número-espacio en el panel proyecta con mucha fuerza los patrones de nuestro sistema de numeración decimal. A medida que lo vamos conociendo y utilizando en el aula se nos hacen fáciles las actividades que consisten en descubrir regularidades y definir la relación entre los elementos que pertenecen a la misma fila o a la misma columna. Sobre este “mapa preciso de los números” también haremos muchas sumas y restas trazando caminos horizontales (avanzamos o retrocedemos por las filas) y verticales (subimos o bajamos por múltiplos de diez por las columnas).2.3. Caja de numeración.
Con la caja, los niños y niñas van construyendo los nueve primeros números, después la decena y las cantidades hasta el noventa y nueve.
La labor realizada con las decenas abre de manera natural el camino hacia la construcción de la centena. Podemos comprobar la estructura de este nuevo elemento: constituye una unidad dentro del sistema de numeración, 1 centena, que a su vez está formada por diez decenas, cada una de las cuales contiene diez unidades……..la equivalencia entre los distintos órdenes es visible y constatable con este recurso.
El trabajo con la caja de numeración produce un salto cualitativo en la comprensión del número y de su tamaño, ya que proporciona un modelo concreto y fiel a la realidad visible, que da sentido al uso de los símbolos escritos y a los conceptos relativos al valor posicional.
Debemos relacionar las cantidades en la caja con otros recursos del aula (cinta numérica, panel, reglas, cintas métricas, ábaco, etc.) para trabajar con representaciones intercambiables. Esto nos ayudará a desarrollar gradualmente una mayor flexibilidad en el razonamiento y a conectar con modos de representación que requieren mayor nivel de abstracción. En lo que respecta al cálculo, la caja de numeración conecta directamente con estrategias por descomposición y facilita la transcripción gráfica que se deriva de la manipulación de las cantidades.
2.4. Cuaderno de numeración.
Se trata de un cuaderno que contiene los números del 0 al 999 distribuidos en filas y columnas. En cada página se presenta una centena completa y en el reverso se pone en relación esa centena con la anterior.Con este recurso podemos trabajar fácilmente tramos altos y desarrollar las mismas actividades que en los paneles: practicar el recitado por filas y columnas, establecer relaciones de orden y cantidad, repasar los conceptos aprendidos del SND, aplicar procedimientos y estrategias para el cálculo, etc.
3. ALGUNOS EJEMPLOS DE ACTIVIDADES.
En este enlace podéis acceder a una extensa ejemplificación (1) de actividades con los recursos mencionados. Es un trabajo extenso que muestra la secuencia de actividades a realizar con números hasta el cincuenta y nueve. En ellas se pueden constatar las directrices señaladas en el primer apartado de este artículo, y también el potencial de los recursos como elementos imprescindibles para visualizar la secuencia numérica e interiorizar mapas mentales que sirven de soportes a cualquier modalidad de cálculo reflexivo.
Las actividades abarcan estas situaciones:
1. Presentar a los números de la familia 50 - 59.
2. Situar a la nueva familia en la secuencia completa. Establecer relaciones de orden y cantidad. Contar a intervalos.
3. Construir números con la estructura del Sistema de Numeración Decimal. Expresar cada número como suma de unidades.
4. Integrar esta familia con las anteriores. Afianzar los contenidos que se han trabajado.
5. Automatizar los efectos de sumar y restar 1. Relacionar números consecutivos mediante la suma y la resta.
6. Sumar y restar dentro de la familia: patrones aritméticos. Sumar y restar en el tramo 0 – 59.
7. Relacionar cada número de la familia con la decena siguiente.
8. Relacionar cada número de la familia con la decena anterior.
9. Sumar y restar 10 y múltiplos de 10.
10. Sumar y restar cantidades descompuestas.
11. Restar desde decenas exactas.
12. Descomposición de cantidades de manera flexible.
13. Generar operaciones de un modo creativo.
14. Resolver operaciones y problemas.
(1) Esta ejemplificación se adjuntó como anexo digital en el artículo “Materiales didácticos para el desarrollo del sentido numérico en los primeros años de aprendizaje”, del que soy coautora junto a Rafael Bracho, profesor de Didáctica de la Matemática en la Universidad de Córdoba. El artículo fue publicado en el número 70 de UNO, REVISTA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS. Editorial Graó.
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